兼顾经济性、便捷性和公平性的公共服务设施区位问题研究

研究背景与意义

区位问题是地理学、区域科学、交通科学、数学、计算机科学等学科共同关注的一个基础性问题。自20世纪50年代以来，各种区位问题模型建构、数学性质与求解算法研究持续不断，广泛应用于商业运营、物流配送、公共健康、义务教育、应急管理等领域。随社会经济发展，区位问题应用领域日益扩大，同时也面临越来越多的理论与方法挑战。

经典区位问题多以服务效率为目标，注重设施成本、距离成本、覆盖客户数量等目标，未顾及服务公平性。随公共服务规划中越来越多地强调均衡、公平与公正原则，学者引入各种各样的公平性指标发展了一系列公平性区位模型。然而，这些模型仍有局限性：

公平与效率指标之间关系复杂，常见公平性指标会严重扭曲效率目标
现有空间公平性区位问题计算复杂度极高，导致模型求解极其困难
理论研究较多，面向实际应用的案例研究较少

为克服公共服务设施布局规划实践中面临的难题，本文提出了一个兼顾服务经济性、出行便捷性和空间公平性的多目标区位问题，设计了相应的模型求解算法，并使用基准案例和实际案例验证模型的基本特征、实用性和优势。

研究目标

提出兼顾经济性、便捷性和公平性的双目标设施区位问题模型(CEEFLP)
设计高效的迭代局部搜索(ILS)算法求解模型
通过基准案例验证模型的有效性和算法的性能
分析模型在平衡经济性、便捷性和公平性方面的优势

公平性区位问题研究进展

回顾经典区位问题和公平性区位模型的发展历程

经典区位问题

区位问题研究已有60余年历史。经典的区位问题包括：

集覆盖区位问题(SCLP)：使用设施数量最少或设施成本最低的设施
P中值问题(PMP)：最小化出行距离
P中心问题(PCP)：最小化最劣出行距离
设施区位问题(UFLP)：最小化设施总成本和出行距离总成本
最大覆盖区位问题(MCLP)：最大化给定半径所覆盖的需求

公平性区位模型

针对设施布局的空间公平性，学者尝试建立各种公平性区位模型。公平性区位建模的基本途径包括：

直接使用公平性指标：如方差(Var)、基尼系数(GC)、平均偏差(MAD)和绝对差异(AD)等
有序中值问题(OMP)：符合罗尔斯"无知之幕"原理，改善处于最劣势人群的服务水平
公平聚合函数：符合社会学"不公平厌恶"原理，用于均衡服务效率和公平性

现有模型的局限性

尽管已有众多的区位问题，但相对于公共服务设施布局需求，这些模型仍存在局限性：

经典模型局限

经典模型多未考虑设施布局空间公平性，难以满足公共服务均等化需求

公平性模型局限

公平性模型对于设施成本考虑不周，难以平衡经济性与公平性

综合模型缺乏

鲜有兼顾设施成本、出行便捷和空间公平的区位模型

CEEFLP数学模型

兼顾经济性、便捷性和公平性的双目标设施区位问题模型

模型设计思路

基于多目标优化思路，兼顾公共服务经济性、便捷性和公平性，可以构建一个最小化设施成本、最小化出行距离和最小化空间不公平指标的三目标区位优化模型。然而，这样的多目标优化模型具有明显的缺点：

设施成本与出行成本呈现相反走势
空间公平性指标通常与出行便捷性之间存在冲突
设施成本与空间公平性指标的关系不明朗
三目标模型的Pareto最优解空间巨大，导致求解难度很高，且提供大量无效解

因此，本文选择将出行成本和空间公平指标聚合为不公平厌恶函数，构建双目标模型，以便于求解且能排除无效解。

CEEFLP数学模型

某一区域存在若干公共服务候选设施区位和若干需求区位，可基于设施区位及需求区位间出行成本构建区位问题模型：

符号定义：

I={1, 2, …, n}：n个候选服务设施区位
fi：设施i(i∈I)的固定成本
J={1, 2, …, m}：m个空间单元
wj：单元j(j∈J)的服务需求量
dij：空间单元i与单元j之间的距离成本
xij：布尔型决策变量，是否指派设施i服务需求单元j
yi：布尔型决策变量，是否在区位i建设施

目标函数：

F1 = α∑_i∈I∑_j∈Jw_jd_ijx_ij + (1-α)∑_i∈I∑_j∈Jw_j(d_ij-d̄)²₊x_ij

F2 = ∑_i∈If_iy_i

模型解释

目标函数F1：不公平厌恶聚合函数

F1是一个不公平厌恶聚合函数，前半部分是总出行成本，后半部分是上半方差，两者加权相加，权重分别为α和1-α (0≤α≤1)。通过设置权重，函数F1能够很好地平衡出行便捷性和空间公平性。

目标函数F2：设施成本

F2最小化设施成本，确保解决方案在经济上可行。

约束条件

∑_i∈Ix_ij = 1, ∀j∈J：所有的需求必须得到满足
x_ij ≤ y_i, ∀i∈I, j∈J：需求点只能被开放设施服务
∑_j∈Jw_jd̄ = ∑_i∈I∑_j∈Jw_jd_ijx_ij：计算平均出行成本
x_ij, y_i ∈ {0,1}, ∀i∈I, j∈J：决策变量定义

单目标转化模型EEFLP

为方便求解CEEFLP，可将目标F2转化为设施成本约束条件，成为一个兼顾出行便捷性和空间公平性的单目标区位模型（EEFLP）：

目标函数：

F3 = α∑_i∈I∑_j∈Jw_jd_ijx_ij + (1-α)∑_i∈I∑_j∈Jw_j(d_ij-d*)²₊x_ij

新增约束条件：

∑_i∈If_iy_i ≤ C

（约束条件要求设施总成本不超过最大成本C）

目标函数F1依赖于平均出行成本，是一个二次函数，求解难度极高。为降低模型计算复杂度，使用参数d*替代平均值，从而将二次函数F1转化为线性函数F3。

当α=1时，EEFLP与PMP模型类似，最小化出行成本；不同之处在于PMP约束设施总数量，而EEFLP约束设施总成本。当α=0时，EEFLP最小化出行成本上半方差。

迭代局部搜索算法

设计高效的ILS算法求解EEFLP模型

算法设计思路

可以使用整型线性规划(MIP)优化器求解EEFLP模型。但当案例规模很大时，优化器计算效率会大幅降低，甚至出现内存不足问题。为此，本文基于求解PMP的快速节点交换方法设计了一个迭代局部搜索（ILS）算法，用于求解EEFLP。

ILS算法的核心思想包括：

使用快速节点交换方法改进当前解
采用多种解扰动方法跳出局部最优
维护精英多样化解集探索解空间
使用集合覆盖过程寻找更优解

算法伪代码

算法迭代局部搜索(ILS)

参数: 群解数量(psize), 最优解连续未更新最大循环数(mloops)

(1) P = GenerateInitialSolutions(psize);

(2) pool = null;

(3) s* = Best(P);

(4) notImprove = 0;

(5) While notImprove < mloops:

(6) s = Select(P);

(7) s′ = Perturbation(s);

(8) s′′ = SearchWhitaker(s′);

(9) If F(s′′) < F(s*): s* = s′′, notImprove = 0;

(10) else: notImprove += 1;

(11) pool = UpdateServiceAreaPool(pool, s′′);

(12) P = UpdatePopulation(P, s′′);

(13) s = SetCovering(pool);

(14) Output(s).

算法关键步骤

初始化与解选择

步骤(1)生成一组初始解P；步骤(6)从解集P中随机选择一个解s。初始解的多样性有助于探索更广阔的解空间。

解扰动

步骤(7)对解s进行扰动。扰动分为3种情况：增加1个减少2个设施、增加2个减少1个设施，以及增加2个减少2个设施。这种扰动策略可以避免算法陷入局部最优，同时允许算法探索不同设施数量的解空间。

局部搜索

步骤(8)使用快速交换算法尝试改进当前解s′。快速节点交换方法利用特定的数据结构，判断需求点的目标值是否变化，仅在有变化时再进行变化量的计算，从而大幅提升了节点交换计算时间。

解集更新与集合覆盖

步骤(11)记录当前解到结构数组pool中；步骤(12)更新解集P，保存一组具有一定差异度的精英解。搜索循环结束后，步骤(13)使用集合覆盖问题模型从历史记录pool中组合出可能更优的解。

算法复杂度分析

ILS算法计算复杂度主要取决于局部搜索步骤(8)和迭代次数：

每次交换尝试的计算复杂度为O(mn)，其中m为候选设施数量，n为需求点数量
若ILS迭代次数为q，算法计算复杂约为O(mnq)
经验表明：迭代次数q通常为参数mloops的2~5倍

ILS算法的实际计算时间与算法编码实现关系密切，本文快速节点交换方法通过优化数据结构和计算过程，显著提高了算法效率。

案例测试与结果分析

通过基准案例验证CEEFLP模型的有效性和ILS算法的性能

案例与实验设计

本文使用14个基准案例验证CEEFLP的有效性：从文献中选择了4个基准测试案例，作者自行构造了10个典型案例。

表1 测试案例的基本特征

案例名称	候选设施数	需求点数	点位分布	需求量分布	设施成本
i300_10	300	300	随机	随机	随机
i300_15	300	300	随机	随机	随机
60-200-1	60	200	随机	随机	随机
60-300-1	60	300	随机	随机	随机
A196	196	196	规则	相等	相等
B196	196	196	随机	相等	相等
C196	196	196	随机	随机	相等

ILS算法性能测试

14个基准案例计算结果表明，ILS算法能够高效、高质量地求解CEEFLP：

模型参数α=1

ILS求解结果与最优解或已知最好解的差距为0.09%

模型参数α=推荐值

ILS求解结果与最优解或已知最好解的差距为0.24%

模型参数α=0.001

ILS求解结果与最优解或已知最好解的差距为0.41%

图1 作者构造案例需求位置与数量分布示意

CEEFLP模型效果分析

设施成本预算固定情况

设施成本预算确定时，可以通过出行成本小幅上升，换取所有公平性指标的改善：

出行距离增加2.17%
出行距离标准差下降7.95%
基尼系数下降9.75%

设施成本预算变化情况

增加设施成本预算，既能够降低出行成本，也能够改善空间公平性指标：

设施成本每增加1%
出行距离平均下降0.37%
出行距离标准差下降0.31%
基尼系数下降0.31%

模型比较分析

CEEFLP模型与传统模型的比较结果表明，当考虑供应成本时，CEEFLP优于效率导向的PMP和公平性导向的MDELP：

表2 CEEFLP与传统模型的比较结果

模型	设施成本	出行距离	标准差	基尼系数
PMP	100%	100%	100%	100%
MDELP	112.5%	104.3%	89.2%	87.4%
CEEFLP	100%	102.2%	92.1%	90.3%

结论与展望

CEEFLP模型为公共服务设施布局规划提供了新思路

研究结论

本文提出的CEEFLP模型能够兼顾设施成本、出行便捷性和空间公平性，为公共服务设施布局规划提供了一种新的解决方案。
设计的ILS算法能够高效、高质量地求解CEEFLP模型，在14个基准案例上的测试结果表明算法性能优异。
实证分析表明，CEEFLP模型能够在固定成本预算下，通过小幅增加出行距离换取空间公平性的显著提升。
增加设施成本预算可以同时降低出行成本并改善空间公平性，为决策者提供了明确的投资指导。

未来展望

进一步研究CEEFLP模型在不同应用场景下的表现，如教育设施、医疗设施、应急设施等不同类型公共服务设施的布局规划。
探索CEEFLP模型与其他空间优化方法的结合，如与GIS空间分析、多智能体系统等结合，提升模型的实用性。
研究CEEFLP模型在动态环境下的应用，考虑需求变化、设施容量调整等动态因素，使模型更加贴近实际应用需求。
开发基于CEEFLP模型的决策支持系统，为公共服务设施布局规划提供直观、便捷的决策支持工具。